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已知,如圖銳角三角形ABC內(nèi)接于O,∠ABC=45°,點(diǎn)D是圓O上一點(diǎn),過點(diǎn)D的切線DE交AC的延且DE平行于BC,連接AD,BD,BE,AD的垂線AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,求證△ABD相似于△A

已知,如圖銳角三角形ABC內(nèi)接于O,∠ABC=45°,點(diǎn)D是圓O上一點(diǎn),過點(diǎn)D的切線DE交AC的延且DE平行于BC,連接AD,BD,BE,AD的垂線AF與DC的延長線交于點(diǎn)F,求證△ABD相似于△ADEXHu答案圈

證明:XHu答案圈

∵BC平行DE.XHu答案圈

∴∠AED=∠ACB;XHu答案圈

又∠ADB=∠ACB.(同弧所對的圓周角相等)XHu答案圈

∴∠AED=∠ADB.(等量代換)-------------------------------------------------(1)∵DE與圓相切.XHu答案圈

∴∠ADE=∠ABD.(弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角)----------------(2)∴⊿ABD∽⊿ADE.XHu答案圈

(注:若沒學(xué)過弦切角定理,在證∠ADE=∠ABD時可以按如下過程來寫.XHu答案圈

連接DO并延長交圓O于M,連接AM.DM為直徑,則∠MAD=90°,∠AMD+∠ADM=90°;又DE為切線,則OD垂直于DE,∠ADE+∠ADM=90°.XHu答案圈

∴∠ADE=∠AMD;又∠ABD=∠AMD.故∠ABD=∠ADE.)XHu答案圈

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